Բորրելլի լեմմա

Բորելի լեմմա

Դիտարկենք [a,b] միջակայքը, σ բաց միջակայքի Σ համակարգ, որը կարող է լինել ինչպես վերջավոր, այնպես էլ անվերջ: Բորելի լեմմա: Եթե [a,b] փակ միջակայքը ծածկվում է Σ = {σ} բաց միջակայքերի անվերջ համակարգով, ապա այդ համակարգից միշտ կարելի է անջատել վերջավոր ենթահամակարգ՝ Σ^* = {σ_1,σ_2,…σ_n }, որը նույնպես կծածկի ամբողջ [a,b] միջակայքը: Ապացույց: Առաջին ապացույցը կատարենք, օգտվելով Բոլցանոյի լեմմայից: Ենթադրենք, որ [a,b] միջակայքը չի կարող ծածկված լինել σ վերջավոր թվով միջակայքերով Σ-ից: Բաժանենք [a,b] միջակայքը 2 մասի: Այդ դեպքում այդ մասերից գոնե մեկը նույնպես չի կարող ծածկված լինել σ վերջավոր թվով, իրոք, եթե նրանցից մեկը ծածկված լինի σ_1,σ_2,…σ_m միջակայքով (Σ-ից), իսկ մյուսը σ_(m+1),σ_(m+2),…σ_n միջակայքով (Σ-ից), ապա այդ միջակայքերով կստացվի Σ^* վերջավոր համակարգ, որը կծածկի ամբողջ [a,b] միջակայքը: [a,b] միջակայքի կեսը նշանակենք [a_1,b_1 ]-ով, որը չի ծածկվում σ վերջավոր թվով: Այդ միջակայքը նույնպես բաժանենք մասերի և նշանակենք [a_2,b_2 ]-ով, որը չի կարելի ծածկել σ վերջավոր թվով, և այսպես շարունակ: Այս գործընթացը անվերջ շարունակելով կստանանք [a_n,b_n ] միջակայքը (n = 1,2,3,…), որոնցից յուրաքանչյուրը կազմում է նախորդի կեսը: Այդ բոլոր միջակայքերը ընտրվում են այնպես, որ նրանցից ոչ մեկը չի ծածկվում σ վերջավոր թվով միջակայքով: Ըստ ներդրված միջակայքերի լեմմայի. գոյություն ունի c կետ, որին ձգտում են a_n,〖 b〗_n թվերը՝ c = lim┬(n→∞)⁡〖a_n 〗 = lim┬(n→∞)⁡〖b_n 〗 : Այդ c կետը, ինչպես [a,b] միջակայքի յուրաքանչյուր կետ, գտնվում է σ միջակայքերից մեկում, ենթադրենք σ_0 = (α,β), այնպես որ α<c<β, բայց a_n 〖 և b〗_n-ը, որ ձգտում են c-ի, մի քանի համարից սկսած կպարունակվեն α և β-ի միջև, այնպես որ [a_n,b_n ] միջակայքը կլինի արտահայտված σ_0 միջակայքերից գոնե մեկով: Ստացանք հակասություն, ըստ կառուցման [a_n,b_n ] միջակայքը հնարավոր չէ ծածկել վերջավոր թվով միջակայքով, բայց մենք ստացանք, որ հնարավոր է ծածկել անգամ մեկ միջակայքով, հենց այս հակասությունն էլ ապացուցում է լեմման: Թեորեմն ապացուցված է: Դիտարկենք մեկ այլ ապացույց. Ապացույց: Դիտարկենք [a,b] միջակայքի x^* կետերը, որոնք պարունակում են այն հատկությունները, որ [a,〖 x〗^* ] միջակայքը ծածկվում է σ վերջավոր թվով միջակայքով: Այդ x^* կետերը, ընդհանրապես, կգտնվեն այնպես, ինչպես օրինակ a կետը գտնվում է σ-ից գոնե մեկում, և հետևաբար հանդիսանում են x^* կետերը: Մեր խնդիրն է ապացուցել, որ b կետը ևս պատկանում է x^* թվին: Այնպես, ինչպես x^* ≤ b, ապա ∃՝ sup{x^* } = c ≤ b: Ինչպես [a,b] միջակայքի յուրաքանչյուր կետ, c-ն ևս պատկանում է σ_0 = (α,β)-ին, α<c<β: Բայց ճշգրիտ վերին եզրի հատկության կգտնվի x_0^* կետ, այնպես որ α< x_0^* ≤ c: [a〖,x〗_0^* ] միջակայքը ծածկվում է σ վերջավոր թվով միջակայքով, եթե այդ միջակայքերին ավելացնենք ևս մեկ σ_0 միջակայք, ապա [a,c] միջակայքը ամբողջությամբ կծածկվի, այնպես որ c-ն x^* կետերից մեկն է: Պարզ է, որ c-ն չի կարող փոքր լինել b-ից, հակառակ դեպքում c և β-ի միջև կգտնվի էլի x^* կետեր: Նման ձևով անհրաժեշտ է, որ b = c, նշանակում է, որ b-ն x^*-ից մեկն է, այսինքն [a,b] միջակայքը ծածկվում է σ վերջավոր թվով միջակայքով և այլն: Նկատենք, որ տվյալ լեմմայում կարևոր է [a,b] միջակայքի սահմանափակությունը, և Σ համակարգը կազմող σ միջակայքի բաց լինելը: Օրինակ, հետևյալ բաց միջակայքերի համակարգը՝ (1/2,3/2), (1/4,3/4), (1/8,3/8),…, (1/2^n ,3/2^n ),… ծածկում է (0,├ 1] միջակայքը, բայց նրանից չենք կարող անջատել վերջավոր ենթահամակարգ: Անալոգաբար, փակ միջակայքերի համակարգը՝ [0,1/2 ], [1/2,3/4], [3/4,7/8],…, [(2^n-1)/2^n ,(2^(n+1)-1)/2^(n+1) ],… և [1,2] ծածկում է [0,2] միջակայքը, բայց այստեղ էլ հնարավոր չէ անջատել վերջավոր ենթահամակարգ: Թեորեմն ապացուցված է:

                             Բոլցանո – Կոշիի  առաջին  թեորեմը

Թեորեմի ապացույցը կատարենք հակասող ենթադրության միջոցով: Ենթադրենք, որ f(x) ֆունկցիայի ոչ մի կետ չի ձգտում 0: Այդ դեպքում ըստ լեմմայի.

     Եթե  f(x)  ֆունկցիան   x = x_0  կետում  անընդհատ  է  և  f(x_0)  արժեքը  տարբեր  է        0-ից,  ապա  x_0-ի  մոտ  x-ի  արժեքը  f(x)  ֆունկցիան   պահպանում  է  նույն  նշանը,  որը   ուներ  x_0  կետում:   [a,b]   միջակայքի   յուրաքանչյուր  x'  կետ  կարելի  է                          σ' = (x' + δ',    x' - δ')  շրջակայքով  սահմանափակել,  այնպես  որ  f(x)-ը  այդ  սահմաններում  պահի  նշված  նշանը:  Σ = {σ}  անվերջ  համակարգը  այդ  սահմաններում  ծածկում  է,  այդպես  ամբողջ   [a,b]   միջակայքը:

Այդ դեպքում, ըստ Բորելի լեմմայի հանդիսանում է վերջավոր թիվ, որը հիշեցնում է այդ սահմանը, արտահայտելով Σ^* համակարգը: a-ի աջ կողմը մեր միջակայքից պատկանում է Σ^* համակարգի շրջակայքից մեկին, ասենք σ_1 = (x_1-δ_1,x_1+δ_1): Իր հերթին x_1+δ_1-ը պատկանում է σ_2 = (x_2-δ_2,x_2+δ_2) Σ^*-ից, x_2+δ_2 կետը պարունակվում է σ_3 = (x_3-δ_3,x_3+δ_3) Σ^*-ից, և այլն: Վերջավոր թվով քայլերից հետո, շարժվելով աջ, մենք կհասնենք σ_n = (x_n-δ_n,〖 x〗_n+δ_n) Σ^*-ից, որը իր մեջ արդեն պարունակում է այդ միջակայքից b-ի աջ կողմը: Եթե Σ^*-ն բացի σ_1, σ_2, σ_3,…, σ_n միջակայքերը պարունակի այլ միջակայքեր, ապա պարզ է, որ նրանց կարելի է հաշվի չառնել: σ_1-ի շրջակայքում f(x) ֆունկցիան պահպանում է որոշակի նշանը, հենց f(a)-ի նշանը: Բայց և σ_2-ում ֆունկցիան ունի որոշակի նշան, որը նույնպես պետք է համընկնի f(a)-ի նշանի հետ, քանի որ σ_1 և σ_2-ը ծածկում են մեկը մյուսին: Այսպես համոզվում ենք, որ նույն նշանը ֆունկցիան պահպանում է և հաջորդականության հաջորդ σ_3 շրջակայքում, որը ծածկում է σ_2-ը և այլն: Ի վերջո եկանք եզրակացության, որ վերջին σ_n շրջակայքում ֆունկցիան ունի f(a)-ի նշանը, այնպես որ և f(b)-ն համընկնում է f(a)-ի նշանի հետ, որը հակասում է ենթադրությանը: Թեորեմը ապացուցված է: