Գծային տարածություն

Սահմանում

Գծային տարածություն կանվանենք $\ (L,+,\cdot )$ եռյակը, որտեղ $\ L$-ը ոչ դատարկ բազմություն է, որի վրա սահմանված են $\ +$ և $\ \cdot$ գործողությունները այնպես, որ

1. $\ \forall x,y$-ի համար միարժեքորեն է սահմանված $\ x+y\in L$
   1. $\ x+y=y+x$
   2. $\ x+(y+z)=(x+y)+z$
   3. $\ \exists 0\in L$ այնպիսին, որ $\forall x$-ի համար $\ x+0=x$
   4. $\ \forall x$-ի համար $\ \exists {-x}$ այնպիսին, որ $\ x+(-x)=0$
2. $\ \forall \alpha$ թվի համար և $\ \forall x\in L$ սահմանված է $\ \alpha {x}\in L$ արտադրյալը
   1. $\ \alpha (\beta x)=(\beta {\alpha })x,\forall \alpha \beta$ թվերի համար և $\ \forall x\in L$
   2. $\ 1\cdot x=x,\forall x\in L$
   3. $\ (\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x,\forall \alpha \beta$ թվերի համար և $\ \forall x\in L$
   4. $\ \alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,\forall \alpha$ թվի համար և $\ \forall x,y\in L$

Դիտողություն

Կախված թվերից կարող են լինել իրական գծային տարածություններ կամ կոմպլեքս գծային տարածություններ: գծային տարածության էլեմենտները կոչվում են վեկտորներ:

Օրինակներ

• Իրական թվերի բազմությունը՝ $\ \mathbb {R}$ սովորական $\ +$ և $\ \cdot$ գործողություններով գծային տարածություն է: