Ինտեգրալների ասիմպտոտական գնահատականներ

Թեորեմ 1

Դիցուք $\ f(x),g(x)\in \mathbf {C} [a,b)$, $\ g(x)>0\ \forall x\in [a,b)$ և $\ \int \limits _{a}^{b}{g(x)}\,dx=+\infty$ Այդ դեպքում՝

1) եթե $\ f(x)=O(g(x))$, երբ $\ x\to b-0$, ապա

$\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt=O\left(\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt\right)$, երբ $\ x\in [a,b)$;

2) եթե $\ f(x)=o(g(x))$, երբ $\ x\to b-0$, ապա

$\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt=o\left(\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt\right)$, երբ $\ x\to b-0$;

3) եթե $\ f(x)\sim g(x)$, երբ $\ x\to b-0$, ապա

$\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\sim \int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt$, երբ $\ x\to b-0$;

$\blacktriangledown$

1) եթե $\ f(x)=O(g(x))$, երբ $\ x\to b$, ապա $\ \exists {\delta }>0$ և $\ \exists {C_{1}}>0$, որ

$\ |f(x)|\leq C_{1}g(x)\ \forall x\in (b-\delta ,b)$

և քանի որ $\ f(x)$ և $\ g(x)$ֆունկցիանները անընդհատ են $\ [a,b-\delta ]$փակ հատվածի վրա, ապա սահմանափակ են, որտեղից

$\ \exists {C_{2}}>0\ st\ |f(x)|\leq C_{2}g(x)\ \forall x\in [a,b-\delta ]$

Եթե $\ C{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}max(C_{1},C_{2})$, ապա կունենանք

$\ |f(x)|\leq Cg(x)\ \forall x\in [a,b)$

որտեղից

$\ \left|\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\right|\leq \int \limits _{a}^{x}{|f(t)|}\,dt\leq C\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt\ \forall x\in [a,b)$

այսինքն

$\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt=O\left(\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt\right)$:

2)Եթե $\ f(x)=o(g(x))$, երբ $\ x\to b-0$, ապա ըստ սահմանման $\ \lim _{x\to b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$

եթե $\ \int \limits _{a}^{b}{|f(t)|}\,dt=+\infty$, ապա ըստ Լոպիտալի կանոնի

$\ \lim _{x\to b-0}{\frac {\left|\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\right|}{\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt}}\leq \lim _{x\to b-0}{\frac {\left|f(x)\right|}{g(x)}}=0$

հակառակ դեպքում

$\ \lim _{x\to b-0}{\frac {\left|\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\right|}{\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt}}\leq \lim _{x\to b-0}{\frac {\int \limits _{a}^{x}{|f(t)|}\,dt}{\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt}}\leq C\lim _{x\to b-0}{\frac {1}{\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt}}=0$:

3)Եթե $\ f(x)\sim g(x)$, երբ $\ x\to b-0$, ապա $\ \lim _{x\to b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$