Եռանկյունաչափական շարքեր: Եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները:
խմբագրել
Սահմանում:
Հետևյալ տեսքի շարքը`
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
{\displaystyle {{a_{0}} \over 2}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}}
,
որտեղ
{
a
n
}
n
=
0
∞
{\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n=0}^{\infty }}
և
{
b
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{{b_{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }}
թվային հաջորդականություններ են, կոչվում է եռանկյունաչափական շարք:
Շարքի անդամները ստացվում են
c
o
s
n
x
{\displaystyle cosnx}
,
s
i
n
n
x
{\displaystyle sinnx}
ֆունկցիաները թվերով բազմապատկելով: Այս ֆունկցիաների հաջորդականությունը կոչվում է եռանկյունաչափական համակարգ:
Լեմմա:
Եռանկյունաչափական համակարգը ունի հետևյալ հատկությունները.
1. Օրթոգոնալության հատկություն:
ա)
∫
−
π
π
cos
k
x
cos
m
x
d
x
=
0
,
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\cos mxdx=0},}
k
≠
m
,
{\displaystyle k\neq m,}
բ)
∫
−
π
π
cos
k
x
sin
m
x
d
x
=
0
,
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\sin mxdx=0},}
cos
k
x
≠
sin
m
x
{\displaystyle \cos kx\neq \sin mx}
գ)
∫
−
π
π
sin
k
x
sin
m
x
d
x
=
0
,
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin kx\sin mxdx=0},}
k
≠
m
:
{\displaystyle k\neq m:}
2. Նորմավորվածության հատկություն:
ա)
1
π
∫
−
π
π
cos
2
k
x
d
x
=
1
,
{\displaystyle {1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}kxdx=1},}
բ)
1
π
∫
−
π
π
sin
2
k
x
d
x
=
1
:
{\displaystyle {1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin ^{2}kxdx=1}:}
Ապացույց:
1. ա)
∫
−
π
π
cos
k
x
cos
m
x
d
x
=
1
2
∫
−
π
π
[
cos
(
k
+
m
)
x
+
cos
(
k
−
m
)
x
]
d
x
=
1
2
[
sin
(
k
+
m
)
x
k
+
m
+
sin
(
k
−
m
)
x
k
−
m
]
|
−
π
π
=
0
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\cos mxdx=}{1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\left[{\cos(k+m)x+\cos(k-m)x}\right]dx=}{1 \over 2}\left.{\left[{{{\sin(k+m)x} \over {k+m}}+{{\sin(k-m)x} \over {k-m}}}\right]}\right|_{-\pi }^{\pi }=0}
2. ա)
1
π
∫
−
π
π
cos
2
k
x
d
x
=
1
π
∫
−
π
π
1
+
cos
2
k
x
2
d
x
=
1
2
π
∫
−
π
π
d
x
+
∫
−
π
π
cos
2
k
x
d
x
=
1
+
sin
2
k
x
4
π
k
|
−
π
π
=
1
{\displaystyle {1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}kxdx=}{1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{1+\cos 2kx} \over 2}dx=}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{dx}+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos 2kxdx}=1+\left.{{\sin 2kx} \over {4\pi k}}\right|_{-\pi }^{\pi }=1}
--Ruben 12:41, 9 Փետրվար 2006 (UTC)