Թեորեմ:
Դիցուք
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
{\displaystyle f(x)={{a_{0}} \over 2}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}}
և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է
x
∈
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle x\in \left[{-\pi ,\pi }\right]}
a
0
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)dx},}
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
n
x
d
x
,
{\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos nxdx},}
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
,
{\displaystyle b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\sin nxdx},}
∀
n
=
1
,
2
,
.
.
.
:
{\displaystyle \forall n=1,2,...:}
Ապացույց:
Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle \left[{-\pi ,\pi }\right]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle \left[{-\pi ,\pi }\right]}
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
a
0
2
d
x
+
∑
n
=
1
∞
a
n
∫
−
π
π
cos
n
x
d
x
+
b
n
∫
−
π
π
sin
n
x
d
x
=
a
0
π
:
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)dx}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{a_{0}} \over 2}dx}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nxdx}+b_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin nxdx}=}a_{0}\pi :}
Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք
cos
n
x
{\displaystyle \cos nx}
sin
n
x
{\displaystyle \sin nx}
Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{f_{n}(x)}}
cos
k
x
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \cos kx\sum \limits _{n=1}^{\infty }{f_{n}(x)}}
|
∑
i
=
n
+
1
n
+
p
f
i
(
x
)
cos
k
x
|
≤
|
cos
k
x
|
|
∑
i
=
n
+
1
n
+
p
f
i
(
x
)
|
≤
|
∑
i
=
n
+
1
n
+
p
f
i
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle \left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)\cos kx}}\right|\leq \left|{\cos kx}\right|\left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)}}\right|\leq \left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)}}\right|<\varepsilon }
Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle \left[{-\pi ,\pi }\right]}
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
n
x
d
x
=
a
0
2
∫
−
π
π
cos
n
x
d
x
+
∑
n
=
1
∞
a
n
∫
−
π
π
cos
n
x
cos
n
x
d
x
+
b
n
∫
−
π
π
sin
n
x
cos
n
x
d
x
=
a
n
∫
−
π
π
cos
2
n
x
d
x
=
a
n
π
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos nxdx}={{a_{0}} \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nxdx}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nx\cos nxdx}+}b_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin nx\cos nxdx}=a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}nxdx}=a_{n}\pi }
Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը:
![{\displaystyle x\in \left[{-\pi ,\pi }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d65563c2b08b2bf15ff9a8be1d19cfc4240c62d)
![{\displaystyle \left[{-\pi ,\pi }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b717ecc57dd08bd9f3720ee41f717a540b9f6036)
